在本教程中，我们将编写一个跨蒙特卡洛代码，以计算氢原子的性质。

变量蒙特卡洛是一种评估积分$ \ frac {\ int | \ psi（r）|^2 o（r）dr} {\ int | \ psi（r）|^2} dr的方法。$

为此，我们使用马尔可夫链蒙特卡洛。这以以下方式起作用：

1. 选择粒子的新试用地点
2. 评估新试验位置波形的比率
3. 如果比率平方更大，则随机数，然后保留新的试用地点，否则请保留旧的试用地点。

我们将编写一个简单的变异蒙特卡洛代码来计算氢分子的键长。
笔记：您将需要在本节中分析一些数据。确保您对Python统计软件包我们提供了。

为了简单起见，该实验室将重点放在氢分子上。由于它只有两个电子（一个旋转和一个旋转），因此我们不必关心计算决定因素。我们将优化两个非常简单的试验波函数$ \ psi_1 $和$ \ psi_2 $。让我们的分子以$ \ pm l/2 \ hat {x} $的质子为中心。

第一个试验功能是一个简单的以债券为中心的高斯，其宽度由参数$ \ alpha $，$ \ psi（r_1，r_1，r_2; \ alpha）= \ exp [ - \ alpha（| r_1 |^2+| r_2 |）控制宽度。^2）] $，其中$ \ alpha $要进行优化。

我们将用作数据结构，以将离子（电子）的坐标存储为2D Numpy阵列。第一个坐标将是粒子，第二个坐标是坐标。因此，要访问第二个粒子，请调用坐标[1]并访问Y元素，请调用坐标[1,1]（请记住，在Python中，所有数组从0开始计数）

让我们首先为我们的波功能构建测试。我们将使用$ \ alpha = 0.5 $。Wave功能应该做什么？它采用离子的位置，电子的位置并给出一个数字。然后让我们将测试定义为

导入numpy def wavefunction1_test1（waveFunction）：coords = numpy.Array（[[[[1.0,0,0.5,0.3]，[ -  0.2,0.1，-0.1]]）ions = numpy.Array（[[ -  0.77,0.0.0.0]，]，[0.7,0.0,0.0]]））如果numpy.abs（WaveFunction（COORDS，ION，离子）-0.496585）<1E-5：返回true else：返回false：if（waveFunction1_test1（psi））打印“波功能测试失败”

现在，你应该写波力

DEF PSI（坐标，离子）：＃您的代码在此处返回Val

记住将其放在测试上方的文件中的某个位置。有用的知识包括

1. 导入numpy和导入数学应该位于文件的顶部
2. numpy.dot计算点产品和
3. Math.sqrt是正方形的。

编写代码后，运行测试并验证您的波函数正在工作！（如果您没有得到此值，请在这里停止并解决问题。在损坏的基础上构建将使将来很难进行调试）。

生产我们的蒙特卡洛代码的下一步是决定我们将如何移动粒子。一种天然的（尽管不是最好的）方法是简单地将粒子移入其当前位置的小盒子中。让我们从此开始作为我们的基本方法。

现在，我们准备将所有内容放在我们的第一个蒙特卡洛代码中！在我们的第一次尝试中，我们将只计算一件事：我们的举动的接受率。观察我们的基本过程将是：

def vmc（wf，ions，numSteps）：r = numpy.zeros（（（2,2），float）movesAttempted = 0.0 movesAccepted = 0.0 = 0.0，用于xrange（0，numSteps）的步骤：for ptcl in xrange（0，len（renge））：a = 5＃让粒子“ ptcl”＃决定您是否接受或拒绝＃更新的moveSattEmpt和movesAccept＃在这里您将在下一步的“接受率”中计算其他内容：“可接受比率：”，MovesAccept/movestemptpermempt return返回

要检查您是否正确地将VMC代码放在一起，应该发现，如果您将粒子在其当前位置周围的长度1.5（每个方向）的盒子中移动，则将获得约0.323的接受率。有用的事情包括

1. numpy.random.rand（）将在0和1之间均匀返回一个随机数
2. 平方数做a2（ ^将不起作用）
3. 请记住，您接受了与波形之比的举动平方
4. 您可以使用 +添加两个相同大小的阵列

恭喜！如果您获得了这个数字，您将成功生产了第一个（有点毫无用处）QMC代码！

笔记：如果您按时运行低，请随时跳过此部分

当然，我们希望我们的QMC代码计算一些内容。在本节中，我们将学习如何计算粘结方向的密度。在下一节中，我们将致力于计算能量。能量将使我们陷入有关纽带，测量键长等的各种有趣的问题。

在X方向上计算密度的关键是建立直方图。这是学习有关在Python中学习面向对象的编程的好时机。在面向对象的编程中，您定义一个类。一类本质上是组合在一起的一组函数和数据，以便这些函数可以访问数据，而无需它们是参数的一部分。让我们定义一个

类直方图：def init（self，startpoint，endpoint，numpoints）：＃我们将编写代码以设置我们的类。def add（self，data）：#ADD在此处def plot（self）：＃让我们绘制直方图

关于Python课程，有几件事要注意。首先，每个功能都可以自己作为第一个论点。任何可访问的变量都必须访问类本地的（但不是函数本地）的变量self.myvar。此外，在声明类时，我们不需要声明任何变量，因为我们可以动态创建新的变量。例如，如果您想创建一个类别的类变量三角洲，你可以说self.delta = 0.3并且将创建这个新变量。

编写代码时要知道的有用的知识包括：

1. 放进口塔在您的代码顶部
2. pylab.plot（x，y）会准备一个情节，pylab.show（）将显示。
3. numpy r.zeros（20，浮点）将创建具有20个零的浮子数组。
4. int（x）将从浮子返回整数。
5. 请记住，如果您希望您的班级存储一个数组以将您的直方图放入您的直方图self.mydata = numpy.zeros（numpoints，float）

我们可以使用以下代码测试直方图：

myHist =直方图（）mythist.init（-10,10,100）sigma = 3.0 randnums = numpy.random.randn（100000）*r in in randnums中的r sigma：myhist.add（r）mythist.plot（）

这应该产生一条高斯曲线，标准偏差为3.0。检查以确保在继续之前！现在，使用您的直方图类来计算氢分子键方向的密度。您应该期望看到这样的东西（如果您做了足够的VMC步骤！）：

量子蒙特卡洛最重要的数量之一是平均能量。平均能量定义为$ \ langle h \ psi / \ psi \ rangle \ equiv \ equiv \ langle e_l \ rangle。$。因此，我们需要计算本地能量$ e_l $。回想一下，$ \ frac {h \ psi} {\ psi} = \ frac {（ - \ nabla^2/2 + v）\ psi} {\ psi} $。$（v \ psi）/\ psi $项相对容易评估，因为它仅减少到$ v（r）= - \ sum_ {ie} \ frac {1} {1} {r_ {ie}}} + sum_ + \ sum_ {ee} \ frac {1} {r_ {ee}}+\ sum_ {ii} \ frac {1} {r_ {ii}} $（用于电子（e）和离子（e）和离子（i）的系统）。虽然在真实的代码中，我们希望对$ \ nabla^2 \ psi / \ psi $项具有分析衍生物，在本教程中，我们将专注于使用有限的差异进行计算（无论如何，重要的是要拥有它很重要以有限的差异计算以检查您的分析衍生物）。然后，让我们添加一个函数，该函数采用波函数和坐标阵列，然后返回局部能量的动能组件。换句话说，实施功能

def laplacianpsioverpsi（波函数，坐标，离子）：＃应该返回局部能量def locunenergy（波函数，坐标，离子）的动力学件＃：＃这应该返回局部能量。

请记住，$ \ frac {\ partial^2 f} {\ partial x^2} \ about \ frac {f（x+\ delta）+f（x- \ delta）-2f（x）} {\ delta^2}$

要验证您的代码是否正确，请设置离子，以使键长为1.4并通过

r = numpy.zeros（（2,3），float）r [0] = [1.0,0.3,0.2] r [1] = [2.0，-0.2,0.1]

您应该以总当地能源为-1.819

现在，将局部能量的计算添加到您的VMC函数中。让VMC函数返回一个能量列表。拥有这些能量后，请使用统计软件包来计算能量和误差以及绘制能量。

您最终应该看到这样的情节：


您应该注意到有关此情节的几件事

1. 这很刺耳。
2. 如果您计算能源列表的统计数据，您的答案约为-0.86。
3. 您的差异很大。

让我们盘点我们所在的地方。我们有功能

psi（坐标，离子）laplacianpsioverpsi（波函数，坐标，离子，离子）局部环（波函数，坐标，离子）

目前，$ \ alpha $将这些波置符编码为硬编码，但是在一分钟内，我们将需要改变它！这意味着我们要么必须使$ \ alpha $成为全局变量（丑！），在所有这些功能中添加另一个参数alpha，要么将波函数捆绑到类中。后者是最优雅的解决方案。想象一下我们定义以下类：

类WaveFunctionClass：DEF PSI（self，coords）：#Stuff在这里def laplacianpsioverpsi（self，coords）：#stuff在这里def localenergy（self，coords）：#stuff shere def setions def setions（self，ions ions ions ions ions ions ions ions ions ions）：＃在这里def setalpha（def setalpha）自我，alpha）：#stuff在这里

请注意，我们不必传递尽可能多的事情（例如Alpha和Ions），并且我们仍然没有丑陋的全球变量。当然，这意味着您将不得不使用一些函数调用来访问，以便您到目前为止在代码中拥有。继续进行使用此类所需的代码中的更改。（浏览“计算密度”部分现在可能很有帮助）

您应该能够使用以下代码测试对类的修改（如果您只有直方图和文件中的WaveFunctionClass，则可以工作！）：）：

导入统计量wf = waveFunctionClass（）如numpy.Array（[[[[1.0,0.5,0.3]，[ -  0.2,0.1 \，-0.1]）和is'，wf.psi（numpy.Array（[[[1.0,0.5,0.3]）0.1，-0.1]]））r = numpy.zeros（（2,3），float）r [0] = [1.0,0,3,0.2] r [1] = [2.0，-0.2,0.1]局部能量应为-1.819，并且为“，wf.localenergy（r）印刷”该VMC运行的接受率应为0.323，并绘制密度\如上所述。（Numpy.Array（Elist））打印“您的统计数据应大约为（-0.885，1.325，0.028，5.613）”，Mystats

笔记：如果您按时运行低，请随时跳过此部分

30％的接受率不是不良的接受率。事实证明，我们可以做得更好！回想一下，蒙特卡洛的接受率为$ a（r \ rightarrow r'）= \ min \ left [\ frac {\ pi（r'）} {\ pi（r）} \ frac {t（r'\'\ \'\rightarrow r）} {t（r \ rightarrow r'）}，1 \ right] $，在我们的计算中，我们有$ \ pi（r）= | \ psi（r）|^2 $。

现在，让我们定义量子力$ f（r）\ equiv \ frac {\ nabla \ psi（r）} {\ psi（r）} $。然后选择一个新的点$ r'$，带有概率$ p（r'）= \ exp [ - （r-r' - \ tau f（r））^2/（4 \ lambda \ tau）$。请注意，这将产生$ t（r \ rightarrow r'）$和$ t（r'\ rightarrow r）$的非平凡价值。如果您实施了这种新的蒙特卡洛举动，您会发现接受比（对于小$ \ tau $）将大约1.尝试修改VMC方法以使用此数量：

有关实施此操作的暗示：

• 最大的困难是实现$ \ nabla \ psi / \ psi $。请记住，这个数量是向量。

您可能已经注意到您的代码很慢！这是因为您已经用Python写了它。即使这样，您也可以做一些事情来加快代码。

• 将数值衍生物切换为分析衍生物。数值衍生物真的很慢！
• DO单粒子移动的波功能更新
• pythonize：我们一直在用python写作，但并非以一种非常的pythonic方式写作。python的“循环”确实很慢。另一方面，列表综合和矩阵操作要快得多。找到代码的慢部分并加快它们的速度！
• 使用Cython！Cython本质上是Python的一种版本，可让您添加类型并加速Python。（不过，一些Python功能不起作用）。
• 好吧，Python很慢。也许您应该尝试C ++（或Fortran或Fortress或Ocaml）。

挑战：认为您的代码特别快？时间并将其添加到我们的快速Python（或其他语言）代码的排行榜中。更好的是：作为书面快速VMC代码的示例，贡献您的快速代码（以任何语言为例）。

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现在，我们已经学习了如何使用变异蒙特卡洛计算积分。但是，通常，我们不知道我们的波函数实际是什么（在这种情况下，我们不知道$ \ alpha $的正确值是什么）。在下一节中，我们将使用变分原理选择参数的最佳值。一旦我们开始学习如何优化，我们就可以负担得起使波浪功能更加复杂！

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